Question

3．如圖，取一副三角板按圖1拼接，固定三角板ADE（含30°），將三角板ABC（含45°）繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)大小為α的角（0°＜α≤45°），試問：
（1）當(dāng)∠α=15度時(shí)，能使圖2中的AB∥DE；
（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到AB與AE重疊時(shí)（如圖3），則∠α=45度；
（3）當(dāng)△ADE的一邊與△ABC的某一邊平行（不共線）時(shí)，直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的所有可能的度數(shù)；
（4）當(dāng)0°＜α≤45°時(shí)，連接BD（如圖4），探求∠DBC+∠CAE+∠BDE的值的大小變化情況，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠BAE=∠E=30°，再根據(jù)∠BAC=45°，即可得出∠CAE=45°-30°=15°；
（2）根據(jù)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到AB與AE重疊時(shí)，∠α=∠BAC即可得到結(jié)果；
（3）要分5種情況進(jìn)行討論：AD∥BC、DE∥AB、DE∥BC、DE∥AC、AE∥BC，分別畫出圖形，計(jì)算出度數(shù)即可；
（4）先設(shè)BD分別交AC、AE于點(diǎn)M、N，在△AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM=180，再根據(jù)∠ANM=∠E+∠BDE，∠AMN=∠C+∠DBC，得出∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC=180°，然后根據(jù)∠C=30°，∠E=45°，即可得出∠BDE+∠CAE+∠DBC的度數(shù)．

解答 解：（1）如圖2，當(dāng)AB∥DE時(shí)，∠BAE=∠E=30°，
∵∠BAC=45°，
∴∠CAE=45°-30°=15°，
即∠α=15°，
故答案為：15；
（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到AB與AE重疊時(shí)，∠α=∠BAC=45°，
故答案為：45；
（2）當(dāng)△ADE的一邊與△ABC的某一邊平行（不共線）時(shí)，旋轉(zhuǎn)角α的所有可能的度數(shù)為15°，45°，105°，135°，150°．如圖a-e所示：
①當(dāng)AD∥BC時(shí)，α=15°；②當(dāng)DE∥AB時(shí)，α=45°；③當(dāng)DE∥BC時(shí)，α=105°；④當(dāng)DE∥AC時(shí)，α=135°；⑤當(dāng)AE∥BC時(shí)，α=150°．
（4）如圖4，當(dāng)0°＜α≤45°時(shí)，∠DBC+∠CAE+∠BDE=105°，保持不變；

理由如下：設(shè)BD分別交AC、AE于點(diǎn)M、N，
在△AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM=180°，
∵∠ANM=∠E+∠BDE，∠AMN=∠C+∠DBC，
∴∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC=180°，
∵∠C=30°，∠E=45°，
∴∠DBC+∠CAE+∠BDE=180°-75°=105°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用．解題時(shí)注意：旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等．