Question

15．在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點A的坐標(biāo)為（4，0），點B的坐標(biāo)為（4，3），動點M，N分別從O、B同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度運動，其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動，過點M作MP⊥OA，交AC于P，連接NP．下列說法①當(dāng)點M運動了2秒時，點P的坐標(biāo)為（2，$\frac{3}{2}$）；②當(dāng)點M運動$\frac{4}{3}$秒時，△NPC是等腰三角形；③當(dāng)點N運動了2秒時，△NPC的面積將達(dá)到最大值．其中正確的有①②③．

Answer 1

分析 ①正確．只要求長中線CA的解析式，求出點P坐標(biāo)即可判斷；
②正確．延長MP交BC于E，只要證明CE=EN，PE⊥CN即可解決問題；
③正確．根據(jù)二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；

解答 解：A（4，0），C（0，3），
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3，
當(dāng)t=2時，OM=2，
∴x=2時，y=-$\frac{3}{2}$+3=$\frac{3}{2}$，
∴點P的坐標(biāo)為（2，$\frac{3}{2}$），故①正確，
當(dāng)t=$\frac{4}{3}$時，OM=$\frac{4}{3}$，
∵CN=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$，
延長MP交BC于E，則四邊形OMEC是矩形，
∴∠CEM=90°，
∴PE⊥CN，CE=OM=$\frac{4}{3}$，
∴CE=EN=$\frac{4}{3}$，
∴PC=PN，
∴△PCN是等腰三角形，故②正確，
易知S_△PCN=$\frac{1}{2}$（4-t）×[3-$\frac{3}{4}$（4-t）]=-$\frac{3}{8}$（t-2）²+$\frac{3}{2}$，
∵-$\frac{3}{8}$＜0，
∴t=2時，△PCN的面積最大，故③正確，
故答案為①②③

點評 本題考查矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題．