Question

14．△ABC中，已知AD為∠BAC的平分線，EF為AD的垂直平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)AE．
（1）求證：△AEC∽△BEA；
（2）求證：ED²=EB•EC．

Answer 1

分析 （1）連接AE，由AD是∠BAC的平分線，得到∠1=∠2，根據(jù)FE是AD的垂直平分線，得到EA=ED，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAD=∠EDA，得到∠BAE=∠ACE，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）連接AE，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠2，
∵FE是AD的垂直平分線，
∴EA=ED（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等），
∴∠EAD=∠EDA（等邊對(duì)等角），
∵∠BAE=∠EAD+∠1，∠ACE=∠EDA+∠2，
∴∠BAE=∠ACE，
又∵∠BFA=∠AFB，
∴△BAE∽△ACE，

（2）∵△BAE∽△ACE，
∴$\frac{AE}{BF}=\frac{CE}{AE}$，
∴AE²=BE•CE，
∴DE²=BE•CE．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)、線段的垂直平分線性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是證明△BAF∽△ACF．