Question

6．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的切線交AB的延長線于點D，∠ACD=120°．
（1）求證：AC=CD；
（2）若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由切線的性質(zhì)可求得∠A=∠D，可證得結(jié)論；
（2）在Rt△OCD中可求得OD，CD，可求得△OCD的面積和扇形BOC的面積，再利用面積差可求得陰影部分面積．

解答 （1）證明：
如圖，連接OC，
∵CD切⊙O于點C，
∴∠OCD=90°，
∴∠OCA=∠OAC=30°，∠ADC=30°，
∴∠A=∠D，
∴AC=CD；
（2）解：
由（1）知∠OCD=90°，∠ADC=30°，∠COD=60°，
∴OD=2OC=4，CD=2$\sqrt{3}$，
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$CD•OC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=2$\sqrt{3}$，S_扇形BOC=$\frac{60πO{C}^{2}}{360}$=$\frac{2π}{3}$，
∴S_陰影=S_△OCD-S_扇形BOC=2$\sqrt{3}$-$\frac{2π}{3}$．

點評 本題主要考查切線的性質(zhì)，掌握過切點的半徑垂直切線是解題的關(guān)鍵．