Question

16．如圖，在同一直線上順次取AB=BC=CD，以BC為直徑作⊙O，從A點(diǎn)作⊙O的切線AE，切點(diǎn)為M，求證：∠AMB=∠EMD．

Answer 1

分析 延長MO交圓于F，連接AF，設(shè)圓的半徑是r，由AB=BC=CD，于是得到AO=3r=DO，MO=OF=r，推出△AOF≌△DOM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=MD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠AMF=90°，由勾股定理得到AM=$\sqrt{A{O}^{2}-O{M}^{2}}$=2$\sqrt{2}$r，AF=$\sqrt{A{M}^{2}+M{F}^{2}}$=2$\sqrt{3}$r=MD，證得BD：MD=MD：OD，推出△BDM∽△MDO，由相似三角形的性質(zhì)得到∠DMO=∠DBM，由于∠DBM=∠OMB，得到∠OMB=∠DMO，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：延長MO交圓于F，連接AF，設(shè)圓的半徑是r，
∵AB=BC=CD，
∵AO=3r=DO，MO=OF=r，
∵∠AOF=∠MOD，
在△AOF與△DON中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=DO}\\{∠AOF=∠DOM}\\{OM=OF}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△DOM，
∴AF=MD，
∵M(jìn)是切點(diǎn)，
∴∠AMF=90°，
又∵M(jìn)O=r，OA=3r，
∴AM=$\sqrt{A{O}^{2}-O{M}^{2}}$=2$\sqrt{2}$r，
∴AF=$\sqrt{A{M}^{2}+M{F}^{2}}$=2$\sqrt{3}$r=MD，
∵BD=4r，OD=3r，
∴$\frac{BD}{MD}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{MD}{OD}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴BD：MD=MD：OD，
∵∠BDM=∠MDB，
∴△BDM∽△MDO，
∴∠DMO=∠DBM，
∵∠DBM=∠OMB，
∴∠OMB=∠DMO，
∵∠OMB+∠AMB=90°，∠DMO+∠EMD=90°，
∴∠AMB=∠EMD．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．