Question

4．在?ABCD中，∠A的平分線分CD為4和5兩段，cos∠A=$\frac{3}{5}$，則?ABCD的面積為36或$\frac{144}{5}$cm²．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，分兩種情況討論：（1）當(dāng)DF=5m時；（2）當(dāng)DF=4m時．證出AD=DF，求出AD的長，根據(jù)三角函數(shù)和勾股定理求出DE的長，計算面積即可．

解答 解：（1）如圖1，當(dāng)DF=5m時，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AD=DF=5m，
∵cos∠DAB=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AE}{5}$=$\frac{3}{5}$，
∴AE=3，
在Rt△AED中，DE=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{3}}$=4，
S_{平行四邊形ABCD}=9×4=36cm²．
（2）如圖2，當(dāng)DF=4m時，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AD=DF=4m，
∵cos∠DAB=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AE}{4}$=$\frac{3}{5}$，
∴AE=$\frac{12}{5}$，
在Rt△AED中，DE=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
S_{平行四邊形ABCD}=9×$\frac{16}{5}$=$\frac{144}{5}$cm²．
故答案為36或$\frac{144}{5}$cm²．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，涉及勾股定理、三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，要注意分類討論．