Question

5．閱讀下列內(nèi)容，設(shè)a，b，c是一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，且a是最長(zhǎng)邊，我們可以利用a，b，c三邊長(zhǎng)間的關(guān)系來(lái)判斷這個(gè)三角形的形狀：
①若a²=b²+c²，則該三角形是直角三角形；②若a²＞b²+c²，則該三角形是鈍角三角形；③a²＜b²+c²，則該三角形是銳角三角形
例如一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是4，5，6，則最長(zhǎng)邊是6，由于6²=36＜4²+5²，故由上面③可知該三角形是銳角三角形，請(qǐng)解答以下問(wèn)題
（1）若一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別是2，3，4，則該三角形是鈍角三角形
（2）若一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別是3，4，x且這個(gè)三角形是直角三角形，則x的值為5或$\sqrt{7}$
（3）若一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別是$\frac{{{m^2}-{n^2}}}{2}$，mn，$\frac{{{m^2}+{n^2}}}{2}$，請(qǐng)判斷這個(gè)三角形的形狀，并寫出你的判斷過(guò)程．

Answer 1

分析 （1）由2²+3²＜4²，即可得出結(jié)論；
（2）分兩種情況：①當(dāng)x為斜邊時(shí)；②當(dāng)x為直角邊時(shí)，斜邊為4；由勾股定理即可求出x的值；
（3）由勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）若一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別是2，3，4，則該三角形是鈍角三角形；理由如下：
∵2²+3²＜4²，
∴該三角形是鈍角三角形；
故答案為：鈍角；
（2）若一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別是3，4，x且這個(gè)三角形是直角三角形，
則x的值為5或$\sqrt{7}$；理由如下：
分兩種情況：
①當(dāng)x為斜邊時(shí)，x=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；
②當(dāng)x為直角邊時(shí)，斜邊為4，x=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$；
綜上所述：x的值為5或$\sqrt{7}$；
故答案為：5或$\sqrt{7}$；          
（3）若一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別是$\frac{{{m^2}-{n^2}}}{2}$，mn，$\frac{{{m^2}+{n^2}}}{2}$，這個(gè)三角形是直角三角形；理由如下：
∵$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2}$＞$\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{2}$，$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2}$＞mn，${（{\frac{{{m^2}-{n^2}}}{2}}）^2}+{（{mn}）^2}$=${（{\frac{{{m^2}+{n^2}}}{2}}）^2}$，
∴這個(gè)三角形是直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理的逆定理；熟練掌握勾股定理的逆定理，并能計(jì)算推理論證與計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．