Question

13．如圖，△ABC三個頂點都在⊙O上，D，E分別為$\widehat{AB}$，$\widehat{AC}$中點，弦DE交AB于點F，交AC于點G，求證：AF•AG=DF•EG．

Answer 1

分析 根據(jù)相似三角形的判定定理證得△ADF∽△EAG，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得$\frac{AF}{EG}=\frac{DF}{AG}$，即AF•AG=DF•EG．

解答 證明：如圖，連接AD，AE，
∵D、E分別是AB、AC的中點，
∴AD=BD，AE=CE，
∴∠BAD=∠E，（等弧所對的圓周角相等）
∠CAE=∠D，
∴△ADF∽△EAG
∴$\frac{AF}{EG}=\frac{DF}{AG}$，
∴AF•AG=DF•EG．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理．在證明△ADF∽△EAG時，利用等弧所對的弦相等證明AD=BD，AE=CE是關(guān)鍵．