Question

2．如圖1，以△ABC的邊AB、AC為邊分別向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=90°，連接CD、BE、DE

（1）證明：△ADC≌△ABE；
（2）試判斷△ABC與△ADE面積之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）園林小路，曲徑通幽，如圖2所示，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石鋪成，已知中間的所有正方形的面積之和是30平方米，內(nèi)圈的所有三角形的面積之和是20平方米，這條小路一共占地70平方米．（不用寫(xiě)過(guò)程）

Answer 1

分析 （1）由三角形ABD與三角形ACE都為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)及等式的性質(zhì)得到∠DAC=∠BAE，利用SAS可得出△DAC≌△BAE，得證；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于M，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥EA交EA延長(zhǎng)線于N，得出△ABC與△AEG的兩條高，等腰直角三角形的特殊性證明△ACM≌△AGN，是判斷△ABC與△ADE面積之間的關(guān)系的關(guān)鍵；
（3）同（2）道理知外圈的所有三角形的面積之和等于內(nèi)圈的所有三角形的面積之和，求出這條小路一共占地多少平方米

解答 （1）證明：∵△ABD和△ACE都為等腰直角三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=90°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE（SAS）；
（2）△ABC與△ADE面積相等．
證明：∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，
∵∠BAD+∠CAD+∠BAC+∠DAE=360°，
∴∠BAC+∠DAE=180°，
∵∠DAE+∠EAN=180°，
∴∠BAC=∠EAN，
在△ACM和△AEN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MAC=∠NAE}\\{∠AMC=∠ANE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$
∴△ACM≌△AEN（AAS），
∴CM=EN，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CM，S_△ADE=$\frac{1}{2}$AD•EN，
∴S_△ABC=S_△ADE；
（3）解：由（2）知外圈的所有三角形的面積之和等于內(nèi)圈的所有三角形的面積之和．
∴這條小路的面積為（30+2×20）=70平方米．
故答案為：70．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，巧妙地借助兩個(gè)三角形全等，尋找三角形面積之間的等量關(guān)系，解決問(wèn)題．由正方形的特殊性證明△ACM≌△ANE，是判斷△ABC與△ADE面積之間的關(guān)系的關(guān)鍵．