Question

7．重溫
我們知道：同弧或等弧所對的圓周角相等．也就是，如圖（1），⊙O中，$\widehat{AB}$所對的圓周角∠ACB=∠ADB=∠AEB．

應(yīng)用
（1）已知：如圖（2），矩形ABCD．
①若AB＜$\frac{1}{2}$BC，在邊AD上求作點(diǎn)P，使∠BPC=90°．（保留作圖痕跡，寫出作法．）
②小明經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)AB、BC的大小關(guān)系發(fā)生變化時，①中點(diǎn)P的個數(shù)也會發(fā)生變化，請你就點(diǎn)P的個數(shù)，探討AB與BC之間的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)論）
創(chuàng)新
（2）小明經(jīng)進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)：命題“若四邊形的一組對邊相等和一組對角相等，則這個四邊形是平行四邊形．”是一個假命題，并在平行四邊形的基礎(chǔ)上利用“同弧或等弧所對的圓周角相等．”作出了一個反例圖形．請你利用下面如圖（3）所給的□ABCD作出該反例圖形．（不寫作法，保留作圖痕跡）

Answer 1

分析 （1）①直接利用圓的性質(zhì)得出BC的中點(diǎn)，進(jìn)而得出⊙O，即可得出P點(diǎn)位置；
②利用①中所求，進(jìn)而利用AB＜$\frac{1}{2}$BC時，AB=$\frac{1}{2}$BC時，AB＞$\frac{1}{2}$BC時，分別得出答案；
（2）利用圓周角定理結(jié)合圓的相關(guān)性質(zhì)得出符合題意的圖形．

解答 解：（1）①如圖2所示：
作法：以BC為直徑作⊙O，交AD于P₁、P₂
P₁、P₂ 為所求作的點(diǎn)P，
②AB＜$\frac{1}{2}$BC時，點(diǎn)P有兩個；
AB=$\frac{1}{2}$BC時，點(diǎn)P有且只有1個；
AB＞$\frac{1}{2}$BC時，點(diǎn)P有0個；

（2）如圖3所示：
連接AC，作△ADC的外接圓⊙O，再以C為圓心，CD的長為半徑畫弧，與⊙O相交于點(diǎn)E，則四邊形ABCE即為所求反例圖形．

點(diǎn)評 此題主要考查了圓的綜合以及平行四邊形的性質(zhì)等知識，正確應(yīng)用圓周角定理是解題關(guān)鍵．