Question

8．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，D在AB的延長(zhǎng)線上，且∠BCD=∠A．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為3，CD=4，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由AB是⊙O的直徑可得出∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，由等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合∠BCD=∠A，即可得出∠OCD=90°，即CD是⊙O的切線；
（2）在Rt△OCD中，由勾股定理可求出OD的值，進(jìn)而可得出BD的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：如圖，連接OC．
∵AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°．
∵OA=OC，∠BCD=∠A，
∴∠ACO=∠A=∠BCD，
∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切線．
（2）解：在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4，
∴OD=$\sqrt{O{C}^{2}+C{D}^{2}}$=5，
∴BD=OD-OB=5-3=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定與性質(zhì)、勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）通過(guò)角的計(jì)算找出∠OCD=90°；（2）根據(jù)勾股定理求出OD的長(zhǎng)度．