Question

19．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，過點D作PQ∥AB分別交CA、CB延長線于P、Q，連接BD．
（1）求證：PQ是⊙O的切線；
（2）求證：BD²=AC•BQ；
（3）若AC、BQ的長是關于x的方程x+$\frac{4}{x}$=m的兩實根，且tan∠PCD=$\frac{1}{3}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和圓周角定理得到∠ABD=∠BDQ=∠ACD，連接OB，OD，交AB于E，根據(jù)圓周角定理得到∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，
根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到2∠ODB+2∠O=180°，于是得到∠ODB+∠O=90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結論；
（2）證明：連接AD，根據(jù)等腰三角形的判定得到AD=BD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結論；
（3）根據(jù)題意得到AC•BQ=4，得到BD=2，由（1）知PQ是⊙O的切線，由切線的性質(zhì)得到OD⊥PQ，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OD⊥AB，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BE=3DE，根據(jù)勾股定理得到BE=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，設OB=OD=R，根據(jù)勾股定理即可得到結論．

解答 （1）證明：∵PQ∥AB，
∴∠ABD=∠BDQ=∠ACD，
∵∠ACD=∠BCD，
∴∠BDQ=∠ACD，
如圖1，連接OB，OD，交AB于E，
則∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，
在△OBD中，∠OBD+∠ODB+∠O=180°，
∴2∠ODB+2∠O=180°，
∴∠ODB+∠O=90°，
∴PQ是⊙O的切線；

（2）證明：如圖2，連接AD，由（1）知PQ是⊙O的切線，
∴∠BDQ=∠DCB=∠ACD=∠BCD=∠BAD，
∴AD=BD，
∵∠DBQ=∠ACD，
∴△BDQ∽△ACD，
∴$\frac{AD}{BQ}$=$\frac{AC}{BD}$，
∴BD²=AC•BQ；

（3）解：方程x+$\frac{4}{x}$=m可化為x²-mx+4=0，
∵AC、BQ的長是關于x的方程x+$\frac{4}{x}$=m的兩實根，
∴AC•BQ=4，由（2）得BD²=AC•BQ，
∴BD²=4，
∴BD=2，
由（1）知PQ是⊙O的切線，
∴OD⊥PQ，
∵PQ∥AB，
∴OD⊥AB，由（1）得∠PCD=∠ABD，
∵tan∠PCD=$\frac{1}{3}$，
∴tan∠ABD=$\frac{1}{3}$，
∴BE=3DE，
∴DE²+（3DE）²=BD²=4，
∴DE=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴BE=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
設OB=OD=R，
∴OE=R-$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∵OB²=OE²+BE²，
∴R²=（R-$\frac{\sqrt{10}}{5}$）²+（$\frac{3\sqrt{10}}{5}$）²，
解得：R=$\sqrt{10}$，
∴⊙O的半徑為$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關系，圓周角定理，平行線的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線的定義，正確的作出輔助線是解題的關鍵．