Question

18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點E，F(xiàn)為線段BC上的兩點，且CE=BF，連接AF，過點C作CD⊥AF于點G，交AB于點D，連接DE，交AF于點M．
（1）求證：∠ACD=∠AFC；
（2）求證：ME=MF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同角的余角相等可證∠ACD=∠AFC；
（2）如圖，構造正方形ACBI，延長CD交BI于點H．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠2=∠6，再根據(jù)ASA證明Rt△ACF≌Rt△CBH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得CF=BH，等量代換得到BE=BH，根據(jù)SAS證明△BDE≌△BDH，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可求解．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∵CD⊥AF，
∴∠AGC=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，即∠ACD=∠AFC；

（2）如圖，構造正方形ACBI，延長CD交BI于點H．
則四邊形BHGF是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠2=∠6，
∵∠1=∠2，
∴∠3=∠5，
∵四邊形ACBI是正方形，
∴AC=CB，∠ACF=∠CBH=90°，∠7=∠8，
在Rt△ACF與Rt△CBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠5}\\{AC=CB}\\{∠ACF=∠CBH}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACF≌Rt△CBH（ASA），
∴CF=BH，
∵CE=BF，
∴CF=BE，
∴BE=BH，
在△BDE與△BDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BH}\\{∠7=∠8}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BDH（SAS），
∴∠4=∠6，
∴∠2=∠4，
∴ME=MF．

點評 考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形，正方形的判定與性質(zhì)，涉及的知識點有：同角的余角相等的性質(zhì)，正方形判定與性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，綜合性較強，難度較大，難點是作出輔助線構造正方形．