Question

10．已知：平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A（3，0），B（0，4），點(diǎn)P是射線AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B重合），設(shè)AP=r，以點(diǎn)P為圓心，r為半徑作⊙P，⊙P的交x軸于一點(diǎn)C，直線PC交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，射線PE交⊙P于點(diǎn)F，連接OF．
（1）若點(diǎn)C是AO的中點(diǎn)，求r的值；
（2）若AP=$\frac{5}{3}$，求OD的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)OF=PF時(shí)，求r的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理求得AB，過P作PH⊥AC于H，則CH=AH，PH∥BO，得到△APH∽△ABO，得出$\frac{AH}{PA}$=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{3}{5}$，從而求得HC=AH=$\frac{3}{5}$r，進(jìn)而根據(jù)題意就可求得r的值；
（2）根據(jù)勾股定理求得AB，過P作PH⊥AC于H，則CH=AH，PH∥BO，得到△APH∽△ABO，得出$\frac{AH}{OA}$=$\frac{PH}{OB}$=$\frac{\frac{5}{3}}{5}$=$\frac{1}{3}$，從而得出HC=AH=1，PH=$\frac{4}{3}$，然后根據(jù)△PCH∽△DCO，得出$\frac{DO}{PH}$=$\frac{OC}{CH}$=1，從而求得OD=PH=$\frac{4}{3}$．
（3）先求得△DOC∽△BOA，得出∠PDB=∠PBD，求得PB=PD，根據(jù)等腰三角形三線合一求得PE⊥BD，進(jìn)得出PE∥OA，得出四邊形OAPF是等腰梯形，進(jìn)而求得四邊形OCPF是菱形，得出OC=PF=PA=r，然后根據(jù)OC+AC=OA=3，得出r+$\frac{6}{5}$r=3，解方程即可．

解答 解：（1）如圖1，∵AO=3，BO=4，
∴AB=5，
過P作PH⊥AC于H，則CH=AH，PH∥BO，
∴△APH∽△ABO，
∴$\frac{AH}{PA}$=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴HC=AH=$\frac{3}{5}$r，
∵C為AO中點(diǎn)，
∴$\frac{6}{5}$r=$\frac{3}{2}$，
∴r=$\frac{5}{4}$；

（2）如圖1，∵AO=3，BO=4，
∴AB=5，
過P作PH⊥AC于H，則CH=AH，PH∥BO，
∴△APH∽△ABO，
∴$\frac{AH}{OA}$=$\frac{PH}{OB}$=$\frac{\frac{5}{3}}{5}$=$\frac{1}{3}$，
∴HC=AH=1，PH=$\frac{4}{3}$，
∴OC=3-1-1=1，
∴OC=CH，
∵PH∥BO，
∴△PCH∽△DCO，
∴$\frac{DO}{PH}$=$\frac{OC}{CH}$=1，
∴OD=PH=$\frac{4}{3}$．
（3）如圖2，
∵∠PCA=∠PAC，∠DCO=∠PCA，
∴∠DCO=∠PAC，
∵∠DOC=∠BOA，
∴△DOC∽△BOA，
∴∠PDB=∠PBD．
∴PB=PD，
∵點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，
∴PE⊥BD，
∴PE∥OA，
∵OF=PF，PF=PA，
∴OF=PA，
∴四邊形OAPF是等腰梯形，
∴∠AOF=∠OAP，
∵PC=PA，
∴∠OAP=∠PCA，
∴∠AOF=∠PCA，
∴OF∥PC，
∴四邊形OCPF是菱形，
∴OC=PF=PA=r，
由（1）可知HC=AH=$\frac{3}{5}$r，
∴AC=$\frac{6}{5}$r，
∵OC+AC=OA=3，
∴r+$\frac{6}{5}$r=3，
∴r=$\frac{15}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓的綜合題，考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等腰梯形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建相似三角形是本題的關(guān)鍵．