Question

12．如圖，已知一次函數(shù)y=$\frac{4}{3}$x+m的圖象與x軸交于A（-6，0），交y軸于點(diǎn)B．
（1）求m的值與點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求AB中點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）求點(diǎn)D（0，-2）到直線AB的距離．

Answer 1

分析 （1）把A的坐標(biāo)代入y=$\frac{4}{3}$x+m即可求得m的值，從而求得直線AB的解析式，由解析式即可求得B的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)A、B的坐標(biāo)，根據(jù)x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$求得即可．
（3）作DE⊥AB于E，先求得AB、BD，得出AB=BD，然后根據(jù)AAS證得△ABO≌△DBE，即可求得DE=OA=6，從而求得點(diǎn)D（0，-2）到直線AB的距離為6．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y=$\frac{4}{3}$x+m的圖象與x軸交于A（-6，0），
∴0=$\frac{4}{3}$×（-6）+m，解得m=8，
∴一次函數(shù)為y=$\frac{4}{3}$x+8，
∴B（0，8）．
（2）∵A（-6，0），B（0，8）．
∴AB中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)=$\frac{-6}{2}$=-3，縱坐標(biāo)=$\frac{8+0}{2}$=4，
∴AB中點(diǎn)C的坐標(biāo)（-3，4）．
（3）如圖，
∵A（-6，0），B（0，8）．
∴OA=6，OB=8，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10，
∵D（0，-2），
∴BD=8+2=10，
∴AB=BD，
在△ABO和△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠DEB=90°}\\{∠ABO=∠DBE}\\{AB=BD}\end{array}\right.$
∴△ABO≌△DBE（AAS），
∴DE=OA=6，
∴點(diǎn)D（0，-2）到直線AB的距離為6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法的應(yīng)用，線段中點(diǎn)的求法，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．