Question

4．如圖，O是等邊△ABC內(nèi)一點，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，則∠AOB=150°．

Answer 1

分析 連結(jié)OO′，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BO′=BO=4，∠O′BO=60°，可判斷△BOO′為等邊三角形，由△ABC為等邊三角形得到BA=BC，∠ABC=60°，則∠O′BA=∠OBC，然后根據(jù)“SAS”可證明△O′BA≌△OBC，則O′A=OC=5在△AOO′中，由于OA′=5，OO′=4，OA=3，則OA²+OO′²=O′A²，于是可根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠AOO′=90°，加上△BOO′為等邊三角形得∠BOO′=60°，所以∠AOB=60°+90°=150°．

解答 解：連結(jié)OO′，如圖，
∵線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，
∴BO′=BO=4，∠O′BO=60°，
∴△BOO′為等邊三角形，
∴∠BOO′=60°，
∵△ABC為等邊三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∴∠O′BO-∠ABO=∠ABC-∠ABO，即∠O′BA=∠OBC，
在△O′BA和△OBC中
$\left\{\begin{array}{l}{O′B=OB}\\{∠O′BA=∠OBC}\\{BA=BC}\end{array}\right.$，
∴△O′BA≌△OBC（SAS），
∴O′A=OC=5，
在△AOO′中，∵OA′=5，OO′=4，OA=3，
∴OA²+OO′²=O′A²，
∴∠AOO′=90°，
∴∠AOB=60°+90°=150°，
故答案為：150°．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理的逆定理．