Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，動(dòng)點(diǎn)M，N從但C同時(shí)出發(fā)，均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點(diǎn)A、B移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2cm的速度沿BA向終點(diǎn)A移動(dòng)，連接PM，PN設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒，0＜t＜2.5）
（1）AM=4-t；AP=5-2t（請(qǐng)分別用含t的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值；若存在，求S的最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再由線段的和差即可得到結(jié)果；
（2）分類討論：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC兩種情況．利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例來求t的值；
（3）如圖，過點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，構(gòu)造平行線PH∥AC，由平行線分線段成比例求得以t表示的PH的值；然后根據(jù)“S=S_△ABC-S_△BPH”列出S與t的關(guān)系式S=$\frac{4}{5}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{21}{5}$（0＜t＜2.5），則由二次函數(shù)最值的求法即可得到S的最小值．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，
∴AB=$\sqrt{{AC}^{2}+{BC}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴AM=AC-CM=4-t，AP=AB-PB=5-2t．
故答案為：4-t，5-2t；

（2）以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，分兩種情況：
①當(dāng)△AMP∽△ABC時(shí)，$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AM}{AB}$，即$\frac{5-2t}{4}$=$\frac{4-t}{5}$，
解得t=$\frac{3}{2}$；
②當(dāng)△APM∽△ABC時(shí)，$\frac{AM}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，即$\frac{4-t}{4}$=$\frac{5-2t}{5}$，
解得t=0（不合題意，舍去）；
綜上所述，當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時(shí)，以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似；

（3）存在某一時(shí)刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值．理由如下：
假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值．
如圖，過點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H．則PH∥AC，
∴$\frac{PH}{AC}$=$\frac{PB}{AB}$，即$\frac{PH}{4}$=$\frac{2t}{5}$，
∴PH=$\frac{8}{5}$t，
∴S=S_△ABC-S_△BPN，
=$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×（3-t）•$\frac{8}{5}$t，
=$\frac{4}{5}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{21}{5}$（0＜t＜2.5）．
∵$\frac{4}{5}$＞0，
∴S有最小值．
當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時(shí)，S_最小值=$\frac{21}{5}$．
答：當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時(shí)，四邊形APNC的面積S有最小值，其最小值是$\frac{21}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查的是相似形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例，二次函數(shù)最值的求法以及三角形面積公式．解答（1）題時(shí)，一定要分類討論，以防漏解．另外，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解題時(shí)，務(wù)必找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊．