Question

14．如圖，正方形OABC的邊OA，OC在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4，4）．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)O同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，規(guī)定點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)．連接BP，過(guò)P點(diǎn)作BP的垂線，與過(guò)點(diǎn)Q平行于y軸的直線l相交于點(diǎn)D．BD與y軸交于點(diǎn)E，連接PE．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．
（1）∠PBD的度數(shù)為45°，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（t，t）（用t表示）；
（2）求證：PE=AP+CE；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBE為等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）易證△BAP≌△PQD，從而得到DQ=AP=t，從而可以求出∠PBD的度數(shù)和點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）延長(zhǎng)OA到點(diǎn)F，使得AF=CE，連接BF，利用全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；
（3）由于∠EBP=45°，故圖1是以正方形為背景的一個(gè)基本圖形，容易得到EP=AP+CE．由于△PBE底邊不定，故分三種情況討論，借助于三角形全等及勾股定理進(jìn)行求解，然后結(jié)合條件進(jìn)行取舍，最終確定符合要求的t值．

解答 解：（1）如圖1，
由題可得：AP=OQ=1×t=t（秒）
∴AO=PQ．
∵四邊形OABC是正方形，
∴AO=AB=BC=OC，
∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°．
∵DP⊥BP，
∴∠BPD=90°．
∴∠BPA=90°-∠DPQ=∠PDQ．
∵AO=PQ，AO=AB，
∴AB=PQ．
在△BAP和△PQD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠PQD}\\{∠BPA=∠PDQ}\\{AB=PQ}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△PQD（AAS）．
∴AP=QD，BP=PD．
∵∠BPD=90°，BP=PD，
∴∠PBD=∠PDB=45°．
∵AP=t，
∴DQ=t．
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（t，t）．
故答案為：45°，（t，t）．
（2）延長(zhǎng)OA到點(diǎn)F，使得AF=CE，連接BF，如圖2所示．
在△FAB和△ECB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠BCE=∠BAF}\\{CE=AF}\end{array}\right.$，
∴△FAB≌△ECB．
∴FB=EB，∠FBA=∠EBC．
∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠EBC=45°．
∴∠FBP=∠FBA+∠ABP
=∠EBC+∠ABP=45°．
∴∠FBP=∠EBP．
在△FBP與△EBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{FB=EB}\\{∠FBP=∠EBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△FBP≌△EBP（SAS）．
∴FP=EP．
∴EP=FP=FA+AP
=CE+AP．
（3）①若PB=PE，
由△PAB≌△DQP得PB=PD，
顯然PB≠PE，
∴這種情況應(yīng)舍去．
②若EB=EP，
則∠PBE=∠BPE=45°．
∴∠BEP=90°．
∴∠PEO=90°-∠BEC=∠EBC．
在△POE和△ECB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEO=∠EBC}\\{∠POE=∠ECB}\\{EP=BE}\end{array}\right.$，
∴△POE≌△ECB（AAS）．
∴OE=CB=OC．
∴點(diǎn)E與點(diǎn)C重合（EC=0）．
∴點(diǎn)P與點(diǎn)O重合（PO=0）．
∵點(diǎn)B（-4，4），
∴AO=CO=4．
此時(shí)t=AP=AO=4．
③若BP=BE，
在Rt△BAP和Rt△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{BP=BE}\end{array}\right.$，
∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）．
∴AP=CE．
∵AP=t，
∴CE=t．
∴PO=EO=4-t．
∵∠POE=90°，
∴PE=$\sqrt{P{O}^{2}+E{O}^{2}}$=$\sqrt{2}$（4-t）．
延長(zhǎng)OA到點(diǎn)F，使得AF=CE，連接BF，如圖2所示．
在△FAB和△ECB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠BAF=∠BCE=90°}\\{AF=CE}\end{array}\right.$，
∴△FAB≌△ECB．
∴FB=EB，∠FBA=∠EBC．
∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠EBC=45°．
∴∠FBP=∠FBA+∠ABP
=∠EBC+∠ABP=45°．
∴∠FBP=∠EBP．
在△FBP和△EBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=BE}\\{∠FBP=∠EBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△FBP≌△EBP（SAS）．
∴FP=EP．
∴EP=FP=FA+AP
=CE+AP．
∴EP=t+t=2t．
∴$\sqrt{2}$（4-t）=2t．
解得：t=4$\sqrt{2}$-4
∴當(dāng)t為4秒或（4$\sqrt{2}$-4）秒時(shí)，△PBE為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理等知識(shí)，考查了分類討論的思想，考查了利用基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題的能力，綜合性非常強(qiáng)．熟悉正方形與一個(gè)度數(shù)為45°的角組成的基本圖形（其中角的頂點(diǎn)與正方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，角的兩邊與正方形的兩邊分別相交）是解決本題的關(guān)鍵．