Question

4．如圖1，在Rt△ACB中，∠BAC=90°，AB=AC，分別過B、C兩點作過點A的直線l的垂線，垂足為D、E；
（1）如圖1，當(dāng)D、E兩點在直線BC的同側(cè)時，①猜想，BD、CE、DE三條線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．②若線段BD=a，CE=b．請你求出△ABC的面積（用含a，b的代數(shù)式表示）；
（2）如圖2，當(dāng)D、E兩點在直線BC的兩側(cè)時，BD、CE、DE三條線段的數(shù)量關(guān)系為BD+DE=CE；
（3）如圖3，∠BAC=90°，AB=22，AC=28．點P從B點出發(fā)沿B→A→C路徑向終點C運動；點Q從C點出發(fā)沿C→A→B路徑向終點B運動．點P和Q分別以每秒2和3個單位的速度同時開始運動，只要有一點到達相應(yīng)的終點時兩點同時停止運動；在運動過程中，分別過P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G．問：點P運動多少秒時，△PFA與△QAG全等？（直接寫出結(jié)果即可）

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根據(jù)等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷△ADB≌△CEA，則AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；
②根據(jù)勾股定理求出AC²，根據(jù)${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AC•AB=\frac{1}{2}A{C}^{2}$，即可解答．
（2）由垂線的定義和角的互余關(guān)系得出∠ADB=∠AEC=90°，∠BAD=∠ACE，由AAS證明△ABD≌△CAE，得出對應(yīng)邊相等BD=AE，AD=CE，由AE+DE=AD，即可得出結(jié)論．
（3）分類討論：當(dāng)點P在BA上，點Q在AC上，如圖1，則PB=2t，CQ=3t，AP=22-2t，AQ=28-3t，利用三角形全等得PA=AQ，即22-2t=28-3t；當(dāng)點P在AC上，點Q在AB上，如圖2，則PA=2t-22，AQ=3t-28，由PA=AQ，即2t-22=3t-28；當(dāng)點Q停在點B處，點P在AC上，由PA=QA得2t-22=22，然后分別解方程求出t，再根據(jù)題意確定t的值

解答 解：（1）①∵BD⊥直線l，CE⊥直線l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAE}\\{∠BDA=∠CEA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
②∵AE=BD，BD=a，
∴AE=a，
在Rt△AEC中，AC²=AE²+CE²=a²+b²，
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AC•AB=\frac{1}{2}A{C}^{2}$=$\frac{1}{2}（{a}^{2}+^{2}）$．
（2）BD+DE=CE；如圖2，

理由如下：
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠CAD+∠ACE=90°，
∴∠BAD=∠ACE，
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠ACE}\\{∠ADB=∠AEC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE+DE=AD，
∴BD+DE=CE．
故答案為：BD+DE=CE．
（3）：①當(dāng)點P在BA上，點Q在AC上，如圖3，

則PB=2t，CQ=3t，AP=22-2t，AQ=28-3t，
∵△PFA與△QAG全等，
∴PA=AQ，即22-2t=28-3t，解得t=6，
即P運動6秒時，△PFA與△QAG全等；
②當(dāng)點P在AC上，點Q在AB上，如圖4，

則PA=2t-22，AQ=3t-28，∵△PFA與△QAG全等，
∴PA=AQ，即2t-22=3t-28，解得t=6，舍去；
即P運動6秒時，△PFA與△QAG全等，
當(dāng)點Q停在點B處，點P在AC上，由PA=QA得2t-22=22，解得t=22，舍去．
綜上所述：當(dāng)t等于6時，△PFA與△QAG全等．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、垂線的定義、角的互余關(guān)系；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，并能進行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．