Question

3．如圖，D是△ABC的外接圓上的一點，AB=AC，M是BC的中點，AC與BD交于E，I是△EDC的角平分線的交點，△EIC的外接圓與BD交于點F，AH⊥BD于點H，連接CF，MH．
求證：FC⊥MH．

Answer 1

分析 如圖，延長AM交△ABC的外接圓于N，連接ID、IF、IC、EI、DN．首先證明D、I、N共線，HM∥DN，再證明DN⊥CF即可解決問題．

解答 證明：如圖，延長AM交△ABC的外接圓于N，連接ID、IF、IC、EI、DN．

∵AB=AC，BM=CM，
∴∠NAB=∠NAC，AM⊥BC，
∴$\widehat{BN}$=$\widehat{CN}$，
∴∠BDN=∠CDN，
∵∠IDE=∠IDC，
∴D、I、N共線，
∵AH⊥BD，
∴∠AHB=∠AMB=90°，
∴A、B、M、H四點共圓，
∴∠BAM=∠BHM，
∵∠BAN=∠BDN，
∴∠BHM=∠BDN，
∴HM∥DN，
∵∠EFI=∠ECI=∠ICD，∠IDF=∠IDC，
在△IDF和△IDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠IDF=∠IDC}\\{∠IFD=∠ICD}\\{DI=DI}\end{array}\right.$，
∴△IDF≌△IDC，
∴△IDF≌△IDC，
∴IF=IC，DF=DC，
∴DN⊥CF，∵HM⊥DN，
∴HM⊥CF．

點評 本題考查三角形外接圓與外心、三角形的內(nèi)接圓與內(nèi)心、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．