Question

4．公園里有一個圓形噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個花形柱子OA，O恰好在水面中心，布置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA任意平面上的拋物線如圖1所示，建立直角坐標系如圖2，水流噴出的高度（m）與水面距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式是y=a（x-h）²+k，且OA=1.25m，水柱在離OA為1m處到時達最大高度2.25m，請回答下列問題：
（1）若不計其他因素，水池的半徑至少要多少米才能使噴出的水不至于落在池外；
（2）若不改變水柱的形狀，現(xiàn)水池的半徑為3.5m，要使噴出的水不至于落在池外，求水柱的最大高度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知得出二次函數(shù)的頂點坐標，即可利用頂點式得出二次函數(shù)解析式，令y=0，則-（x-1）²+2.25=0，求出x的值即可得出答案．；
（2）當水流噴出的拋物線形狀與（1）相同，即a=-1，當x=3.5時，y=0，進而求出答案即可．

解答 解：（1）∵頂點為（1，2.25），
∴設(shè)解析式為y=a（x-1）²+2.25過點（0，1.25），
解得a=-1，
所以解析式為：y=-（x-1）²+2.25，
令y=0，
則-（x-1）²+2.25=0，
解得x=2.5 或x=-0.5（舍去），
所以水池的半徑至少要2.5米才能使噴出的水流不致落到池外；

（2）由于噴出的拋物線形狀與（1）相同，可設(shè)此拋物線為y=-x²+bx+c，
把點（0，1.25）（3.5，0）
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=1.25}\\{-\frac{49}{4}+\frac{7}{2}b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{22}{7}}\\{c=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴y=-x²+$\frac{22}{7}$x+$\frac{5}{4}$=-（x-$\frac{11}{7}$）²+$\frac{729}{196}$，
∴水池的半徑為3.5m，要使水流不落到池外，此時水流最大高度應達$\frac{729}{196}$米．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)的應用，根據(jù)頂點式求出二次函數(shù)的解析式是解題關(guān)鍵．