Question

4．過等邊三角形內一點向三邊作垂線，已知這三條垂線段的長分別為1、3、5．試求這個等邊三角形的面積．

Answer 1

分析 作AM⊥BC，根據等邊三角形的面積計算可以求得AM=PE+PD+PF，再根據等邊三角形的高線長可以計算等邊三角形的邊長，即可解題．

解答 解：過A作AM⊥BC，則AM為BC邊上的高，
連接PA、PB、PC，
則△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$BC•AM=$\frac{1}{2}$（BC•PD+AB•PF+AC•PE），
∴BC•AM=BC•PD+AB•PF+AC•PE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，
∴BC•AM=BC•PD+BC•PF+BC•PE=BC•（PD+PF+PE），
∴PD+PE+PF=AM，
∴△ABC的高為：AM=1+3+5=9，
∴△ABC的邊長為：AB=$\frac{AM}{sin60°}$=$\frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$6$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$×9=27$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了三角形面積的計算，考查了等邊三角形邊長和高線長的關系，本題中求AM=PD+PE+PF是解題的關鍵．