Question

10．如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)是正方形內(nèi)兩點，BE∥DF，EF⊥BE，為探索研究這個圖形的特殊性質(zhì)，某數(shù)學學習小組經(jīng)歷力如下過程
初步體驗
如圖1，連接BD，若BE=DF，求證：EF與BD互相平分
規(guī)律探究
（1）如圖1中，（BE+DF）²+EF²=2AB²
（2）如圖2，若BE≠DF，其他條件不變，（1）中的數(shù)量關(guān)系是否會發(fā)生變化？如果不會，請證明你的結(jié)論；如果會發(fā)生變化，請說明理由
拓展應用
如圖3，若AB=4，∠DPB=135°，$\sqrt{2}$BP+2PD=4$\sqrt{6}$，求PD的長

Answer 1

分析 初步體驗：根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得：四邊形EBFD是平行四邊形，再由平行四邊形的對角線互相平分得結(jié)論；
規(guī)律探究：
（1）如圖2，作輔助線，構(gòu)建矩形GEFD，利用勾股定理列方程并與矩形的對邊相等相結(jié)合可得結(jié)論；
（2）如圖3，同理可得結(jié)論；
拓展應用：
如圖4，類比如圖2，構(gòu)建矩形GEPD，設(shè)BE=EG=x，PD=EG=y，則BP=$\sqrt{2}$x由勾股定理得：BG²+DG²=BD²，則（x+y）²+x²=（4$\sqrt{2}$）²，由已知得：$\sqrt{2}$BP+2PD=4$\sqrt{6}$，則2x+2y=4$\sqrt{6}$ ②，解①和②可得結(jié)論．

解答 初步體驗
證明：如圖1，連接ED、BF，
∵BE=DF，BE∥DF，
∴四邊形EBFD是平行四邊形，
∴EF與BD互相平分；
規(guī)律探究
（1）如圖2，過D作DG⊥BE，交BE的延長線于G，
∴∠EGD=∠GEF=∠EFD=90°，
∴四邊形GEFD是矩形，
∴EF=GD，EG=DF，
在Rt△BGD中，BG²+DG²=BD²，
∴（BE+EG）²+EF²=BD²，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴BD²=2AB²，
∴（BE+DF）²+EF²=2AB²，
故答案為：2；
（2）不會發(fā)生變化，如圖3，（BE+DF）²+EF²=2AB²仍然成立，
理由是：過D作DG⊥BE，交BE的延長線于G，
∴∠EGD=∠GEF=∠EFD=90°，
∴四邊形GEFD是矩形，
∴EF=GD，EG=DF，
在Rt△BGD中，BG²+DG²=BD²，
∴（BE+EG）²+EF²=BD²，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴BD²=2AB²，
∴（BE+DF）²+EF²=2AB²，
拓展應用
如圖4，過P作PE⊥PD，過B作BE⊥PE，過D作DG⊥BE，得矩形GEPD，
∴GD=EP，EG=PD，
設(shè)BE=EG=x，PD=EG=y，則BP=$\sqrt{2}$x
∵AB=4，
∴BD=4$\sqrt{2}$，
在Rt△BGD中，由勾股定理得：BG²+DG²=BD²，
∴（x+y）²+x²=（4$\sqrt{2}$）²，
∴2x²+2xy+y²=32 ①，
∵$\sqrt{2}$BP+2PD=4$\sqrt{6}$，
∴2x+2y=4$\sqrt{6}$ ②，
解①和②得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}}\\{y=2\sqrt{6}-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴PD=2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了平行四邊形和矩形的性質(zhì)和判定，并根據(jù)勾股定理列方程解決問題，本題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)建矩形和直角三角形，并運用了類比的思想，使問題得以解決．