Question

6．在平面直角坐標系中，我們不妨把橫坐標和縱坐標相等的點叫“夢之點”，例如點（1，1），（-2，-2），（$\sqrt{2}$$\sqrt{2}$），…都是“夢之點”，顯然“夢之點”有無數(shù)個．
（1）若點P（2，m）是反比例函數(shù)y=$\frac{n}{x}$（n為常數(shù)，n≠0）的圖象上的“夢之點”，求這個反比例函數(shù)的解析式；
（2）函數(shù)y=3kx+k-$\frac{1}{3}$，y=nx+2（k，n為常數(shù)）的圖象上存在相同的“夢之點”，請求出“夢之點”的坐標和n的值；
（3）若二次函數(shù)y=ax²-ax+1（a是常數(shù)）的圖象上存在兩個“夢之點”A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），且|x₁-x₂|=2，試求二次函數(shù)的頂點坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“夢之點”的定義得出m的值，代入反比例函數(shù)的解析式求出n的值即可；
（2）根據(jù)夢之點的橫坐標與縱坐標相同，設(shè)“夢之點”是（b，b），得關(guān)于b的方程，根據(jù)解方程，求得“夢之點”，然后代入y=nx+2即可求得n的值．
（3）先將A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）代入y=ax²-ax+1，得到ax₁²-（a+1）x₁+1=0，ax₂²-（a+1）x₂+1=0，根據(jù)方程的解的定義可知x₁，x₂是一元二次方程ax²-（a+1）x+1=0的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂=$\frac{a+1}{a}$，x₁•x₂=$\frac{1}{a}$，則（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（$\frac{a+1}{a}$）²-$\frac{4}{a}$=4，整理得出a的值，然后把二次函數(shù)解析式畫出頂點式即可求得頂點坐標．

解答 解：（1）∵點P（2，m）是反比例函數(shù)y=$\frac{n}{x}$（n為常數(shù)，n≠0）的圖象上的“夢之點”，
∴m=2，
∴P（2，2），
∴n=2×2=4，
∴這個反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{4}{x}$；

（2）函數(shù)y=3kx+k-$\frac{1}{3}$（k≠1）的圖象上有“夢之點”，設(shè)“夢之點”是（b，b），
把（b，b）代入y=3kx+k-$\frac{1}{3}$（k≠1）得b=3kb+k-$\frac{1}{3}$．
化簡，得b-3kb=k-$\frac{1}{3}$．
解得b=-$\frac{1}{3}$，
即“夢之點”是（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{3}$），
代入y=nx+2得-$\frac{1}{3}$=-$\frac{1}{3}$n+2，
解得n=7；

（3）∵二次函數(shù)y=ax²-ax+1（a是常數(shù)）的圖象上存在兩個不同的“夢之點”A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），
∴x₁=ax₁²-ax₁+1，x₂=ax₂²-ax₂+1，
∴ax₁²-（a+1）x₁+1=0，ax₂²-（a+1）x₂+1=0，
∴x₁，x₂是一元二次方程ax²-（a+1）x+1=0的兩個不等實根，
∴x₁+x₂=$\frac{a+1}{a}$，x₁•x₂=$\frac{1}{a}$，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（$\frac{a+1}{a}$）²-$\frac{4}{a}$=4，
∴3a²+2a-1=0，解得a₁=$\frac{1}{3}$，a₂=-1，
當a=$\frac{1}{3}$時，拋物線為y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x+1=$\frac{1}{3}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{11}{12}$，
∴二次函數(shù)的頂點坐標為（$\frac{1}{2}$，$\frac{11}{12}$）；
當a=-1時，拋物線為y=-x²+x+1=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，
∴二次函數(shù)的頂點坐標為（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）．
綜上，二次函數(shù)的頂點坐標為（$\frac{1}{2}$，$\frac{11}{12}$）或（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了運用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，綜合性較強，有一定難度．