Question

15．如圖，直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b與y軸交于點(diǎn)A，與雙曲線y=$\frac{k}{x}$在第一象限交于B、C兩點(diǎn)，且AB•AC=4，則k=（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b與x軸交于點(diǎn)D，作BE⊥y軸于E，CF⊥y軸于F．先求出直線與x軸和y軸的兩交點(diǎn)D與A的坐標(biāo)，根據(jù)OA與OD的長(zhǎng)度求出比值即可得到角ADO的正切值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出角ADO的度數(shù)，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理表示出EB與FC的積，然后在直角三角形AEB中利用cos∠ABE表示出EB與AB的關(guān)系，同理在直角三角形AFC中，利用cos∠ACF表示出FC與AC的關(guān)系，根據(jù)AB•AC=4列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答 解：設(shè)直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b與x軸交于點(diǎn)D，作BE⊥y軸于E，CF⊥y軸于F．
∵y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
∴當(dāng)y=0時(shí)，x=$\sqrt{3}$b，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$b，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=b，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b），
∴OA=b，OD=$\sqrt{3}$b．
∵在Rt△AOD中，tan∠ADO=$\frac{OA}{OD}$=$\frac{\sqrt{3}b}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ADO=30°．
∵直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b與雙曲線y=$\frac{k}{x}$在第一象限交于點(diǎn)B、C兩點(diǎn)，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b=$\frac{k}{x}$，
整理得，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+bx-k=0，
由韋達(dá)定理得：x₁x₂=$\frac{-k}{-\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}$k，即EB•FC=$\sqrt{3}$k，
∵$\frac{EB}{AB}$=cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$EB，
同理可得：AC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$FC，
∴AB•AC=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$EB）（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$FC）=$\frac{4}{3}$EB•FC=$\frac{4}{3}$×$\sqrt{3}$k=4，
解得：k=$\sqrt{3}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題及根與系數(shù)的關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵根據(jù)題意作出輔助線，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義溝通各線段之間的關(guān)系．