Question

13．如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=3，BC=5，E是邊CD的中點，連結BE并延長與AD的延長線相交于點F．
（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形．
（2）若BD=BC，求四邊形BDFC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據同旁內角互補兩直線平行求出BC∥AD，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角邊”證明△BEC和△FCD全等，根據全等三角形對應邊相等可得BE=EF，然后利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可；
（2）利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四邊形的面積公式列式計算即可得．

解答 （1）證明：∵∠A=∠ABC=90°，
∴BC∥AD，
∴∠CBE=∠DFE，
又∵E是邊CD的中點，
∴CE=DE，
在△BEC與△FED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠DFE}&{\;}\\{∠BEC=∠FED}&{\;}\\{CE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△FED，
∴BE=FE
∴四邊形BDFC是平行四邊形；
（2）解：∵BD=BC=5，
∴AB=$\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴四邊形BDFC的面積=BC•AB=5×4=20．

點評 本題考查了平行四邊形的判定與性質，平行線的判定、全等三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．