Question

9．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（k+1）x+k-3=0
（1）求證：無論k取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）設(shè)方程兩根為x₁，x₂，求出當$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}$=-4時k的值．

Answer 1

分析 （1）由△=b²-4ac=（k-1）²+12＞0，即可判定無論k取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系，可得x₁+x₂=k+1，x₁•x₂=k-3，又由$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}$=-4，可得$\frac{（{k+1）}^{2}-2（k-3）}{k-3}$=-4，即可求得k的值．

解答 （1）證明：∵a=1，b=-（k+1），c=k-3，
∴△=b²-4ac=[-（k+1）]²-4×1×（k-3）=k²+2k+1-4k+12=k²-2k+13=（k-1）²+12＞0，
∴無論k取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）∵x₁+x₂=k+1，x₁•x₂=k-3，
∴$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}$=$\frac{{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（{{x}_{1}+{x}_{2}）}^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（{k+1）}^{2}-2（k-3）}{k-3}$=-4，
解得：k₁=$\sqrt{10}$-2，k₂=-$\sqrt{10}$-2．

點評 此題考查了根的判別式．注意一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當△＜0時，方程無實數(shù)根．