Question

17．如圖，△ABC中，AB=AC，AD=BC，∠A=20°，求∠DCA的度數(shù)．

Answer 1

分析 以AC為邊在△ABC外作等邊三角形KAC，連接DK，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-20°）=80°，由等邊三角形的性質(zhì)得到AK=AC=AB，∠KAD=20°+60°=80°，證得△ADK≌△ABC，求得∠AKD=20°，推出A，D，C，在，以K為圓心的圓上，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．

解答 解：以AC為邊在△ABC外作等邊三角形KAC，連接DK，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-20°）=80°，
∵△KAC是等邊三角形，
∴AK=AC=AB，∠KAD=20°+60°=80°，
在△KAD與△ABC中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠DAK=∠B}\\{AK=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADK≌△ABC，
∴∠AKD=20°，
AK=DK=CK=AC，
∴A，D，C，在，以K為圓心的圓上，
∴∠DCA=$\frac{1}{2}∠$AKD=10°．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．