Question

7．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，作OD∥BC與過(guò)點(diǎn)A的切線交于點(diǎn)D，連接DC并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AE=6，CE=2$\sqrt{3}$，求線段CE、BE與劣弧BC所圍成的圖形面積．（結(jié)果保留根號(hào)和π）

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，如圖，先根據(jù)切線的性質(zhì)得∠BAD=90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，由OD∥BC得∠1=∠3，∠2=∠4，加上∠3=∠4，則∠1=∠2，接著證明△AOD≌△COD，得到∠OCD=∠OAD=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理得到DE是⊙O的切線；
（2）設(shè)半徑為r，則OE=AE-OA=6-r，OC=r，在Rt△OCE中利用勾股定理得到r²+（2$\sqrt{3}$）²=（6-r）²，解得r=2，再利用正切函數(shù)求出∠COE=60°，然后根據(jù)扇形面積公式和S_陰影部分=S_△COE-S_扇形BOC進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）連結(jié)OC，如圖，
∵AD為⊙O的切線，
∴AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∵OD∥BC，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵OB=OC，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
在△OCD和△OAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OD}\\{∠1=∠2}\\{OC=OA}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△COD（SAS）；   
∴∠OCD=∠OAD=90°，
∴OC⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；
（2）設(shè)半徑為r，則OE=AE-OA=6-r，OC=r，
在Rt△OCE中，∵OC²+CE²=OE²，
∴r²+（2$\sqrt{3}$）²=（6-r）²，解得r=2，
∵tan∠COE=$\frac{CE}{OC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴∠COE=60°，
∴S_陰影部分=S_△COE-S_扇形BOC
=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{60•π•{2}^{2}}{360}$
=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了扇形面積的計(jì)算．