Question

2．如圖，在矩形ABCD中，AB=9，AD=12．動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BC（不包括端點(diǎn)B、C）以每秒2個(gè)單位長度的速度，勻速向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD（不包括端點(diǎn)C、D）以每秒1個(gè)單位長度的速度，勻速向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，同時(shí)停止．連接AF并延長交BC的延長線于點(diǎn)M，再把AM沿AD翻折交CD延長線于點(diǎn)N，連接MN．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△ABE∽△ECF；
（2）在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中是否存在某個(gè)時(shí)刻使AE⊥AN？若存在請求出t的值，若不存在請說明理由；
（3）在運(yùn)動(dòng)的過程中，△AMN的面積是否變化？如果改變，求出變化的范圍；如果不變，求出它的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，列出關(guān)于t的式子，求出t；
（2）證明△ABE∽△ADN，得到成比例線段，用t表示BE、CF、DN，代入比例式求出t的值；
（3）根據(jù)△AMN的面積=△ANF的面積+△MNF的面積，求出△AMN的面積，可知是否是定值．

解答 解：（1）若△ABE∽△ECF，
則$\frac{BE}{AB}$=$\frac{CF}{EC}$，
∴$\frac{2t}{9}$=$\frac{t}{12-2t}$，
解得t₁=0（舍去），t₂=$\frac{15}{4}$，
∴當(dāng)t=$\frac{15}{4}$時(shí)，△ABE∽△ECF；
（2）存在，
在矩形ABCD中，∠B=∠BAD=∠ADC=∠ADN=90°，
又∵AE⊥AN
∴∠NAE=90°，
∴∠BAE=∠DAN，
∴△ABE∽△ADN，
∴$\frac{BE}{AB}$=$\frac{DN}{AD}$，
∵AB=9，BE=2t，AD=12，CF=t，
∴DF=9-t，
由折疊知：DN=DF=9-t，
∴$\frac{2t}{9}$=$\frac{9-t}{12}$，
∴t=$\frac{27}{11}$，
∴當(dāng)t=$\frac{27}{11}$時(shí)，AE⊥AN，
（3）△AMN的面積不變，
在矩形ABCD中，F(xiàn)C∥AB，
∴△FCM∽△ABM
∴$\frac{FC}{AB}$=$\frac{MC}{BM}$，
∴$\frac{t}{9}$=$\frac{MC}{12+MC}$，
∴MC=$\frac{12t}{9-t}$，
∴S_△AMN=S_△ANF+S_△NFM
=$\frac{1}{2}$NF×AD+$\frac{1}{2}$NF×MC
=$\frac{1}{2}$NF（AD+MC）
=$\frac{1}{2}$×2（9-t）×（12+$\frac{12t}{9-t}$）
=108．
∴△AMN的面積不變?yōu)?08．

點(diǎn)評 本題考查的是相似三角形的綜合應(yīng)用，靈活運(yùn)用相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，解答時(shí)，注意方程思想的正確運(yùn)用．