Question

12．已知：如圖，△CBE是一個(gè)銳角三角形，分別以CB，CE為邊向外側(cè)作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，連接AE、BD．
（1）求證：△ACE≌△BCD；
（2）若點(diǎn)P是邊BE上的一個(gè)動點(diǎn)（不與兩端點(diǎn)B、E重合），過點(diǎn)P作PM∥AE交AB于M，PN∥BD交DE于N．
①當(dāng)點(diǎn)P是BE的中點(diǎn)時(shí)，求證：PM+PN=AE；
②當(dāng)點(diǎn)P是BE上任意一點(diǎn)時(shí)，請問PM、PN、AE是否還有①中的結(jié)論，若有請說明理由；若沒有則這三條線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系并說明理由？

Answer 1

分析 （1）由△ABC和△CDE是等邊三角形，得到AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，證得∠ACE=∠BCD，即可證得△ACE≌△BCD；
（2）①由點(diǎn)P是BE的中點(diǎn)，得到PB=PE=$\frac{1}{2}$BE，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)即可得到結(jié)果；②根據(jù)P作PM∥AE交AB于M，PN∥BD交DE于N．證得△BPM∽△BEA，△EPN∽△EBD得到$\frac{BP}{BE}=\frac{PM}{AE}$，$\frac{PE}{BE}=\frac{PN}{BD}$，由于AE=BD，于是得到$\frac{BP+PE}{BE}=\frac{PM+PN}{AE}$，于是結(jié)論可得．

解答 （1）證明：∵△ABC和△CDE是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∵∠ACE=60°+∠BCE，∠BCD=60°+∠BCE，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE與△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD；

（2）解：①∵點(diǎn)P是BE的中點(diǎn)，
∴PB=PE=$\frac{1}{2}$BE，
∵PM∥AE交AB于M，PN∥BD交DE于N．
∴PM=$\frac{1}{2}$AE，PN=$\frac{1}{2}$BD，
∵△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，
∴PM=PN=$\frac{1}{2}$AE，
∴PM+PN=AE；
②PM+PN=AE；
∵P作PM∥AE交AB于M，PN∥BD交DE于N．
∴△BPM∽△BEA，△EPN∽△EBD，
∴$\frac{BP}{BE}=\frac{PM}{AE}$，$\frac{PE}{BE}=\frac{PN}{BD}$，
∴$\frac{BP}{BE}+\frac{PE}{BE}=\frac{PM}{AE}+\frac{PN}{BD}$，
∵AE=BD，
∴$\frac{BP+PE}{BE}=\frac{PM+PN}{AE}$，
∴$\frac{PM+PN}{AE}$=1，
∴PM+PN=AE．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些定理是解題的關(guān)鍵．