Question

3．如圖（1），在平面直角坐標系中，AB⊥x軸于B，AC⊥y軸于C，點C（0，m），A（n，m），且（m-4）²+n²-8n=-16，過C點作∠ECF分別交線段AB、OB于E、F兩點．
（1）求A點的坐標；
（2）若OF+BE=AB，求證：CF=CE；
（3）如圖（2），若∠ECF=45°，給出兩個結(jié)論：?OF+AE-EF的值不變；?OF+AE+EF的值不變，其中有且只有一個結(jié)論正確，請你判斷出正確的結(jié)論，并加以證明和求出其值．

Answer 1

分析 （1）已知的式子可以化成（m-4）²+（n-4）²=0的形式，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求得m、n的值，即可求得A的坐標；
（2）證明△COF≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解；
（3）在x軸負半軸上取點H，使OH=AE，證明△HCF≌△ECF即可求解．

解答 解：（1）（m-4）²+n²-8n=-16，
即（m-4）²+（n-4）²=0，
則m-4=0，n-4=0，
解得：m=4，n=4．
則A的坐標是（4，4）；
（2）∵AB⊥x軸，AC⊥y軸，A（4，4），
∴AB=AC=OC=OB，∠ACO=∠COB=∠ABO=90°，
又∵四邊形的內(nèi)角和是360°，
∴∠A=90°，
∵OF+BE=AB=BE+AE，
∴AE=OF，
∴在△COF和△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=OF}\\{∠A=∠COF}\\{AC=OC}\end{array}\right.$，
∴△COF≌△CAE，得
∴CF=CE；
（3）結(jié)論?正確，值為0．
證明：在x軸負半軸上取點H，使OH=AE，
∵在△ACE和△OCH中，$\left\{\begin{array}{l}{OH=AE}\\{∠COH=∠A}\\{AC=OC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△OCH，
∴∠1=∠2，CH=CE，
又∵∠EOF=45°，
∴∠HCF=45°，
∴在△HCF和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{CH=CE}\\{∠HCF=∠EOF}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△HCF≌△ECF，
∴HF=EF，
∴OF+AE-EF=0．

點評 本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)以及全等三角新的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是關(guān)鍵．