Question

20．已知如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直徑，BD=10，BD交AC于點(diǎn)E，連接DC．
（1）求∠AEB的度數(shù)；
（2）求弦AC的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)椤螦=50°，∠ABC=60°，所以利用三角形的內(nèi)角和可得∠ACB=70°，利用同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠A=∠D=50°，又因?yàn)椤螧CD是直徑所對(duì)的圓周角，所以等于90°，因此可得∠ECD=20°，利用內(nèi)角和與對(duì)頂角相等可得∠AEB等于110°；
（2）連接AO．CO，過(guò)O作OH⊥AC于H，根據(jù)圓周角定理得到∠AOH=60°，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AH=AO•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．AC=2AH=5$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）如圖1，連接AE，
∵∠A=50°，∠ABC=60°，
∴∠ACB=70°，
∵BD是圓O的直徑，
∴∠BCD=90°，
∴∠ACD=20°，
∴∠ABD=∠ACD=20°，
∴∠AEB=180°-（∠BAE+∠ABE）=180°-（50°+20°）=110°；

（2）如圖2，連接AO．CO，過(guò)O作OH⊥AC于H，
∵∠ABC=60°，
∴∠AOH=60°，
∵BD=10，
∴AO=5，
∴AH=AO•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∵OA=OC，
∴AC=2AH=5$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，同弧所對(duì)的圓周角相等，三角形的內(nèi)角和等知識(shí)點(diǎn)，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．