Question

19．已知正方形ABCD的邊長為4$\sqrt{2}$，如果P是正方形內(nèi)一點，且PA=PC=2$\sqrt{5}$，那么BP的長為6或2．

Answer 1

分析 根據(jù)全是三角形的性質(zhì)得到∠ABP=∠CBP=45°，過P作PE⊥BC于E，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：在△ABP與△CBP中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{PB=PB}\\{AP=CP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP，
∴∠ABP=∠CBP=45°，
過P作PE⊥BC于E，
∴PE=BE，
∵BC=4$\sqrt{2}$，
∴CE=4$\sqrt{2}$-PE，
在Rt△PCE中，PC²=PE²+CE²，
即（2$\sqrt{5}$）²=PE²+（4$\sqrt{2}$-PE）²，
∴PE=3$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$，
∴PB=$\sqrt{2}$PE=6或2．
故答案為：6或2．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵，