Question

4．如圖，平行四邊形ABCD在直角坐標(biāo)系中，tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，AD=6，OA的長是方程x²-x-12=0的一個根，E是線段OD的中點．
（1）求點C，D的坐標(biāo)；
（2）求直線AE的解析式；
（3）在y軸上有一點M，平面內(nèi)是否存在一點N，使以A，C，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）可先求得OA的長，再利用三角函數(shù)的定義可求得B點坐標(biāo)，則可求得OC的長，利用平行四邊形的性質(zhì)可求得D點坐標(biāo)；
（2）由中點可先求得E點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AE解析式；
（3）由A、C坐標(biāo)可求得AC的長，當(dāng)NC為菱形的邊時，則NC∥AM，由NC=AC可求得N點坐標(biāo)；當(dāng)NC為對角線時，則可知AM和NC互相垂直且平分，則N點在x軸的負(fù)半軸上，且與C點關(guān)于原點對稱，可求得N點坐標(biāo)．

解答 解：
（1）解方程x²-x-12=0可得x=4或x=-3，
∴OA=4，
∵tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{4}{3}$，即$\frac{4}{OB}$=$\frac{4}{3}$，解得OB=3，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴BC=AD=6，
∴OC=3，
∴C（3，0），D（6，4）；
（2）∵D（6，4），E為線段OD的中點，
∴E（3，2），且A（0，4），
∴可設(shè)直線AE解析式為y=kx+4，
∴3k+4=2，解得k=-$\frac{2}{3}$，
∴直線AE解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+4；
（3）∵A（0，4），C（3，0），
∴AC=5，
①當(dāng)NC為菱形的邊時，則CN∥AM且CN=AC=5，如圖1，

∵點M在y軸上，
∴N點縱坐標(biāo)為5或-5，且OC=3，
∴N點坐標(biāo)為（3，5）或（3，-5）；
②當(dāng)NC為對角線時，則AM⊥NC且互相平分，
∴點N在x軸的負(fù)半軸上，且與C點關(guān)于原點對稱，
∴N（-3，0）；
綜上可知存在滿足條件的點N，其坐標(biāo)為（3，5）或（3，-5）或（-3，0）．

點評 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及一元二次方程、三角函數(shù)定義、勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、待定系數(shù)法及分類討論思想等知識．在（1）中求得OB的長是解題的關(guān)鍵，在（2）中利用中點求得E點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出N點的位置是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．