Question

1．問題提出：
如圖，用水平線和豎直線將平面分成若干個邊長為1的小正方形格子，小正方形的頂點叫格點，以格點為頂點的多邊形叫格點多邊形．設(shè)格點多邊形的面積為y，它各邊上格點個數(shù)之和為x，它內(nèi)部格點數(shù)為n，那么y與x，n有什么數(shù)量關(guān)系？
  問題探究：為解決上述問題，我們采取一般問題特殊化的策略，從最簡單的情形入手：
探究一：當(dāng)格點多邊形內(nèi)部的格點數(shù)n=0時，格點多邊形的面積y與各邊上的格點個數(shù)之和x之間的數(shù)量關(guān)系．
如圖①，圖②，圖③都是n=0時的格點多邊形，y與x，n的數(shù)量如下表：

圖形序號	內(nèi)部格點數(shù)n	各邊上格點個數(shù)之和x	面積y
①	0	4	1
②	0	5	1.5
③	0	6	2

分析 表格中數(shù)據(jù)，可知當(dāng)n=0時，y與x之間的關(guān)系式為y=$\frac{1}{2}$x-1．
 探究二：當(dāng)格點多邊形內(nèi)部的格點數(shù)n=1時，格點多邊形的面積y與各邊上的格點個數(shù)之和x之間的數(shù)量關(guān)系．
如圖④，圖⑤，圖⑥都是n=1時的格點多邊形，請完成下表：

圖形序號	內(nèi)部格點數(shù)n	各邊上格點個數(shù)之和x	面積y
④	1	4	2
⑤	1	5	2.5
⑥	1

分析表格中數(shù)據(jù)，可知當(dāng)n=1時，y與x之間的關(guān)系式為y=$\frac{1}{2}$x．
探究三：如圖⑦，圖⑧，圖⑨都是n=2時的格點多邊形，類比上述探究方法，可知n=2時，y與x之間的關(guān)系式為y=$\frac{1}{2}$x+1．

問題解決：
綜上可得：格點多邊形的面積y，與它各邊上格點個數(shù)之和x，內(nèi)部格點數(shù)n之間的關(guān)系式為y=$\frac{1}{2}$x+n-1．
結(jié)論應(yīng)用：
請用上面的結(jié)論計算下面圖中格點多邊形的面積．（寫出計算過程）

Answer 1

分析 探究一：1=4×$\frac{1}{2}$-1，1.5=5×$\frac{1}{2}$-1，2=6×$\frac{1}{2}$-1；多邊形的面積=各邊上格點個數(shù)和的一半減去1，即y=$\frac{1}{2}$x-1；
探究二：2=4×$\frac{1}{2}$，2.5=5×$\frac{1}{2}$；多邊形的面積=各邊上格點個數(shù)和的一半，即y=$\frac{1}{2}$x；如圖⑥中，各邊上格點個數(shù)之和為6，面積為3；
探究三：內(nèi)部有2個格點就是指圖形的中間有2個小正方形的頂點，類比以上兩個探究根據(jù)圖找出y與x的關(guān)系；
問題解決：當(dāng)n=0時，y=$\frac{1}{2}$x-1，
當(dāng)n=1時，y=$\frac{1}{2}$x+1-1，
當(dāng)n=2時，y=$\frac{1}{2}$x+2-1，
…
∴格點多邊形的面積y，與它各邊上格點個數(shù)之和x，內(nèi)部格點數(shù)n之間的關(guān)系式為：y=$\frac{1}{2}$x+n-1，
結(jié)論應(yīng)用：
根據(jù)圖形數(shù)出格點的個數(shù)和x=14，內(nèi)部格點數(shù)n=22，代入即可．

解答 解：探究一：根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，可知當(dāng)n=0時，多邊形的面積=各邊上格點個數(shù)和的一半減去1，
∴y與x之間的關(guān)系式為：y=$\frac{1}{2}$x-1；
故答案為：y=$\frac{1}{2}$x-1；
探究二：表格如下圖所示：

根據(jù)以上信息，多邊形的面積=各邊上格點個數(shù)和的一半，即y=$\frac{1}{2}$x；
故：表格中填：6，3，
故答案為：y=$\frac{1}{2}$x；                          
探究三：如圖⑦，各邊上格點個數(shù)和x=4，面積y=4×$\frac{1}{2}$+1=3，
如圖⑧，各邊上格點個數(shù)和x=5，面積y=5×$\frac{1}{2}$+1=3.5，
如圖⑨，各邊上格點個數(shù)和x=6，面積y=6×$\frac{1}{2}$+1=4，
∴根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，可知當(dāng)n=2時，多邊形的面積=各邊上格點個數(shù)和的一半加1，
∴y與x之間的關(guān)系式為：y=$\frac{1}{2}$x+1；

問題解決：
綜上可得：格點多邊形的面積y，與它各邊上格點個數(shù)之和x，內(nèi)部格點數(shù)n之間的關(guān)系式為：y=$\frac{1}{2}$x+n-1，
故答案為：y=$\frac{1}{2}$x+n-1；                                    
結(jié)論應(yīng)用：
將x=14，n=22代入：y=$\frac{1}{2}$x+n-1，得，
y=$\frac{1}{2}$×14+22-1=28，
∴圖中格點多邊形的面積為28．

點評 本題是圖形類的規(guī)律題，需要根據(jù)圖中表格和格點圖形，與自己所算得的數(shù)據(jù)結(jié)合，總結(jié)出規(guī)律．尋找規(guī)律是一件比較困難的活動，需要仔細觀察和大量的驗算．