Question

14．已a(bǔ)₁=1-$\frac{1}{{2}^{2}}$，a₂=1-$\frac{1}{{3}^{2}}$，a₃=1-$\frac{1}{{4}^{2}}$，…a_n=1-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$，S_n=a₁•a₂…a_n，則S₂₀₁₅=$\frac{2017}{4032}$．

Answer 1

分析 首先代入，把每一項(xiàng)利用平方差公式因式分解，進(jìn)一步計(jì)算約分化簡(jiǎn)得出答案即可．

解答 解：S₂₀₁₅=（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{201{6}^{2}}$）
=（1-$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{3}$）（1+$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{4}$）（1+$\frac{1}{4}$）…（1-$\frac{1}{2016}$）（1+$\frac{1}{2016}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{5}{4}$×…×$\frac{2015}{2016}$×$\frac{2017}{2016}$
=$\frac{2017}{4032}$．
故答案為：$\frac{2017}{4032}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的聯(lián)系，得出運(yùn)算規(guī)律，利用運(yùn)算規(guī)律解決問(wèn)題．