Question

11．設(shè)二次函數(shù)當(dāng)x=3時，取最大值10，并且其圖象在x軸上截得的線段長為4，求其解析式．

Answer 1

分析 利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），（5，0），利用二次函數(shù)的最大值問題得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，10），則可設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-1）（x-5），然后把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可．

解答 解：∵當(dāng)x=3時，拋物線在x軸上截得的線段長為4，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），（5，0），
∵當(dāng)x=3時，函數(shù)取最大值10，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，10），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-5），
把（3，10）代入得a•2•（-2）=10，解得a=-$\frac{5}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{5}{2}$（x-1）（x-5），
即y=-$\frac{5}{2}$x²+15x-$\frac{25}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：利用拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x₁，0），（x₂，0）可設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）．