Question

8．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E在對角線BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，則EF的長為（　�。�

• A． 1
• B． 4-2$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 3$\sqrt{2}$-4

Answer 1

分析 在AF上取FG=EF，連接GE，可得△EFG是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得EG=$\sqrt{2}$EF，∠EGF=45°，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠BAE+∠AEG=∠EGF，然后求出∠BAE=∠AEG=22.5°，根據(jù)等角對等邊可得AG=EG，再根據(jù)正方形的對角線平分一組對角求出∠ABD=45°，然后求出△BEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BF=EF，設(shè)EF=x，最后根據(jù)AB=AG+FG+BF列方程求解即可．

解答 解：如圖，在AF上取FG=EF，連接GE，
∵EF⊥AB，
∴△EFG是等腰直角三角形，
∴EG=$\sqrt{2}$EF，∠EGF=45°，
由三角形的外角性質(zhì)得，∠BAE+∠AEG=∠EGF，
∵∠BAE=22.5°，∠EGF=45°，
∴∠BAE=∠AEG=22.5°，
∴AG=EG，
在正方形ABCD中，∠ABD=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=EF，
設(shè)EF=x，∵AB=AG+FG+BF，
∴4=$\sqrt{2}$x+x+x，
解得x=2（2-$\sqrt{2}$）=4-2$\sqrt{2}$．
故選B．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出等腰直角三角形并根據(jù)正方形的邊長AB列出方程．