Question

如圖，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，EP⊥CD于點(diǎn)P．求∠FPC的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)

專題：幾何圖形問題

分析：根據(jù)菱形的鄰角互補(bǔ)求出∠B，再求出BE=BF，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠BEF，再求出∠FEP，取AD的中點(diǎn)G，連接FG交EP于O，然后判斷出FG垂直平分EP，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得EF=FP，利用等邊對(duì)等角求出∠FPE，再根據(jù)∠FPC=90°-∠FPE代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．

解答：解：在菱形ABCD中，
∵∠A=110°，
∴∠B=180°-110°=70°，
∵E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，
∴BE=BF，
∴∠BEF=

1

2

（180°-∠B）=

1

2

（180°-70°）=55°，
∵EP⊥CD，AB∥CD，
∴∠BEP=∠CPE=90°，
∴∠FEP=90°-55°=35°，
取AD的中點(diǎn)G，連接FG交EP于O，
∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，
∴FG∥CD，
∵EP⊥CD，
∴EP⊥FG，
即FG垂直平分EP，
∴EF=PF，
∴∠FPE=∠FEP=35°，
∴∠FPC=90°-∠FPE=90°-35°=55°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作出輔助線求出EF=PF是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．