Question

1．如圖，OA，OB是⊙O的兩條半徑，OA⊥OB，C是半徑OB上一動點，連結(jié)AC并延長交⊙O于D，過點D作圓的切線交OB的延長線于E，已知OA=8．
（1）求證：∠ECD=∠EDC；
（2）若tanA=$\frac{1}{4}$，求DE長；
（3）當(dāng)∠A從15°增大到30°的過程中，求弦AD在圓內(nèi)掃過的面積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OD，根據(jù)等角的余角相等即可證明，只要證明∠ODA=∠OAD，∠EDC+∠ODA=90°，∠A+∠DCE=90°即可；
（2）由tanA=$\frac{OC}{OA}$，可知$\frac{OC}{8}=\frac{1}{4}$，推出OC=2，設(shè)DE=x，根據(jù)OD²+DE²=OE²，可得8²+x ²=（2+x）²解方程即可；
（3）求兩個弓形的面積之差即可；

解答 （1）證明：連結(jié)OD，
∵DE是⊙O的切線，
∴∠EDC+∠ODA=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠ACO+∠A=90°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A，
∴∠EDC=∠ACO，
又∵∠ECD=∠ACO，
∴∠ECD=∠EDC．

（2）解：∵tanA=$\frac{OC}{OA}$，
∴$\frac{OC}{8}=\frac{1}{4}$，
∴OC=2，
設(shè)DE=x，
∵∠ECD=∠EDC，
∴CE=x，
∴OE=2+x．
∴∠ODE=90°，
∴OD²+DE²=OE²，
∴8²+x ²=（2+x）²，x=15，
∴DE=CE=15．

（3）解：過點D作AO的垂線，交AO的延長于F，
當(dāng)∠A=15°時，∠DOF=30°，DF=4，
${S_{弓形ABD}}=\frac{150π•64}{360}-\frac{1}{2}×8×4=\frac{80π}{3}-16$
當(dāng)∠A=30°時，∠DOF=60°，DF=4$\sqrt{3}$，
${S_{弓形ABD}}=\frac{120π•64}{360}-\frac{1}{2}×8×4\sqrt{3}=\frac{64π}{3}-16\sqrt{3}$，
∴S=$（\frac{80π}{3}-16）-$$（\frac{64π}{3}-16\sqrt{3}）=\frac{16}{3}π+16\sqrt{3}-16$

點評 本題考查圓綜合題、切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、弓形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．