Question

12．如圖，拋物線y=ax²+$\frac{7}{2}$x+c與直線y=kx+2交于C，D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，$\frac{7}{2}$）．點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．
（1）求直線和拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)m為何值時(shí)，以O(shè)，C，P，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）是否存在點(diǎn)P，使∠PCF=45°？若存在，請(qǐng)求出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)和拋物線的解析式；
（2）本問(wèn)采用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想求解．將直線y=$\frac{1}{2}$x+2沿y軸向上或向下平移2個(gè)單位之后得到的直線，與拋物線y軸右側(cè)的交點(diǎn)，即為所求之交點(diǎn)．由答圖1可以直觀地看出，這樣的交點(diǎn)有3個(gè)．聯(lián)立解析式解方程組，即可求出m的值；
（3）本問(wèn)符合條件的點(diǎn)P有2個(gè)，如答圖2所示，注意不要漏解．在求點(diǎn)P坐標(biāo)的時(shí)候，需要充分挖掘已知條件，構(gòu)造直角三角形或相似三角形，解方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵直線y=kx+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，D，
∴$C（0，2），\frac{7}{2}=3k+2$，
∴$k=\frac{1}{2}$，
∴直線CD的解析式為$y=\frac{1}{2}x+2$，
∵拋物線$y=a{x^2}+\frac{7}{2}x+c$經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，D，
∴$\left\{\begin{array}{l}2=c\\ \frac{7}{2}=9a+\frac{21}{2}+c\end{array}\right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;∴\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ c=2\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為$y=-{x^2}+\frac{7}{2}x+2$；
（2）如圖1，
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m且在拋物線上，
∴$P（m，-{m^2}+\frac{7}{2}m+2），F(xiàn)（m，\frac{1}{2}m+2）$，
∵PF∥CO，
∴當(dāng)PF=CO時(shí)，以O(shè)，C，P，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
①當(dāng)0＜m＜3時(shí)，$PF=-{m^2}+\frac{7}{2}m+2-（\frac{1}{2}m+2）=-{m^2}+3m$，
∴-m²+3m=2，解得：m₁=1，m₂=2，
即當(dāng)m=1或2時(shí)，四邊形OCPF是平行四邊形，
②當(dāng)m≥3時(shí)，$PF=（\frac{1}{2}m+2）-（-{m^2}+\frac{7}{2}m+2）={m^2}-3m$m²-3m=2，
解得：${m_1}=\frac{{3+\sqrt{17}}}{2}，{m_2}=\frac{{3-\sqrt{17}}}{2}$（舍去），
即當(dāng)${m_1}=\frac{{3+\sqrt{17}}}{2}$時(shí)，四邊形OCFP是平行四邊形；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在CD上方且∠PCF=45°時(shí)，
作PN⊥CD，CM⊥PE，則△PMF∽△CNF，
∴$\frac{PM}{MF}=\frac{CN}{FN}=\frac{m}{{\frac{1}{2}m}}=2$，
∴PM=CM=2CF，
∴$PF=\sqrt{5}FM=\sqrt{5}CF=\sqrt{5}×\frac{{\sqrt{5}}}{2}CN=\frac{5}{2}CN=\frac{5}{2}m$，
又∵PF=-m²+3m，
∴$-{m^2}+3m=\frac{5}{2}m$，
解得：${m_1}=\frac{1}{2}$，m₂=0（舍去）
∴$P（\frac{1}{2}，\frac{7}{2}）$．
同理可以求得：另外一點(diǎn)為$P（\frac{23}{6}，\frac{13}{18}）$．
∴符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$）或（$\frac{23}{6}$，$\frac{13}{18}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解方程（方程組）、平行四邊形、相似三角形（或三角函數(shù)）、勾股定理等重要知識(shí)點(diǎn)．第（2）問(wèn)采用數(shù)形結(jié)合思想求解，直觀形象且易于理解；第（3）問(wèn)中，符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，注意不要漏解．