Question

19．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²-2ax+c與x軸的正半軸相交于點(diǎn)A、與y軸的正半軸相交于點(diǎn)B，它的對稱軸與x軸相交于點(diǎn)C，且∠OBC=∠OAB，AC=3．
（1）求此拋物線的表達(dá)式；
（2）如果點(diǎn)D在此拋物線上，DF⊥OA，垂足為F，DF與線段AB相交于點(diǎn)G，且S_△ADG：S_△AFG=3：2，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先求出拋物線的對稱軸，進(jìn)而求出點(diǎn)A坐標(biāo)，結(jié)合∠OBC=∠OAB，即可求出OB的長度，點(diǎn)B的坐標(biāo)求出，利用待定系數(shù)法列出a和c的二元一次方程組，求出a和c的值，拋物線的表達(dá)式即可求出；
（2）由S_△ADG：S_△AFG=3：2得DG：FG=3：2，DF：FG=5：2，設(shè)OF=m，得AF=4-m，用m表示出DF的長，由FG∥OB，可用m表示出FG，由比例列出等式，求出m的值，進(jìn)而求出D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²-2ax+c的對稱軸為直線x=-$\frac{-2a}{a}$=1，
∴OC=1，OA=OC+AC=4，
∴點(diǎn)A（4，0），
∵∠OBC=∠OAB，
∴tan∠OAB=tan∠OBC，
∴$\frac{OB}{OA}=\frac{OC}{OB}$，
∴$\frac{OB}{4}=\frac{1}{OB}$，
∴OB=2，
∴點(diǎn)B（0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}2=c\\ 0=16a-8a+c\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴此拋物線的表達(dá)式為$y=-\frac{1}{4}{x^2}+\frac{1}{2}x+2$．

（2）由S_△ADG：S_△AFG=3：2得DG：FG=3：2，DF：FG=5：2，
設(shè)OF=m，得AF=4-m，$DF=-\frac{1}{4}{m^2}+\frac{1}{2}m+2$，
由FG∥OB，得$\frac{FG}{OB}=\frac{AF}{OA}$，
∴$FG=\frac{4-m}{2}$，
∴$（-\frac{1}{4}{m^2}+\frac{1}{2}m+2）：\frac{4-m}{2}=5：2$，
∴m²-7m+12=0，
∴m₁=3，m₂=4（不符合題意，舍去），
當(dāng)m=3時，D點(diǎn)縱坐標(biāo)為$\frac{5}{4}$，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，$\frac{5}{4}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，此題涉及到了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、比例的性質(zhì)以及一元二次方程的解法，解答本題的關(guān)鍵求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，此題難度不大．