Question

2．定義：到定點M（a，b）的距離等于定長的點的集合是圓，設(shè)P（x，y）為圓上任意一點，則有方程（x-a）²+（y-b）²=R²（R為P到M的距離）．已知實數(shù)x，y滿足方程：x²+y²-8x+6y+24=0．
（1）求（x-2）²+y²的最大值與最小值；
（2）$\frac{y}{x}$的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得到（x-2）²+y²的幾何意義為點（x，y）到定點（2，0）的距離的平方，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論；
（2）$\frac{y}{x}$相當與（0，0）與圓上的點相連的直線的斜率，根據(jù)直線與圓相切時取最值，解出$\frac{y}{x}$的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵x²+y²-8x+6y+24=0，
∴（x-4）²+（y+3）²=1，即點（x，y）在圓心C為（4，-3），半徑為1的圓上，
設(shè)z=（x-2）²+y²，則z的幾何意義為圓上的點P（x，y）到定點A（2，0）的距離平方，
∴|AC|=$\sqrt{（2-4）^{2}+（0-3）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴圓上點到點到A的距離的最大值為$\sqrt{13}$+1，最小值為$\sqrt{13}$-1；

∴（x-2）²+y²的最大值是$\sqrt{13}$+1，最小值是$\sqrt{13}$-1；

（2）∵實數(shù)x，y滿足方程：x²+y²-8x+6y+24=0，
∴（x-4）²+（y+3）²=1，即點（x，y）在圓心C為（4，-3），半徑為1的圓上，
∴$\frac{y}{x}$相當于（0，0）與圓上的點相連的直線斜率，
設(shè)OA的解析式為y=kx，
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-8x+6y+24=0}\\{y=kx}\end{array}\right.$，消去y得到（1+k²）x²+（6k-8）x+24=0，
由題意△=0．
∴（6k-8）²-96（1+k²）=0，
解得k=$\frac{-12±\sqrt{6}}{15}$，
∴$\frac{y}{x}$的最大值為$\frac{-12+\sqrt{6}}{15}$，最小值為$\frac{-12-\sqrt{6}}{15}$．

點評 本題配方法的應(yīng)用、圓的方程、坐標與圖形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．