Question

4．已知：三角形ABC中，點(diǎn)F，G分別在線段AB，BC上，F(xiàn)G⊥BC于G，點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動，PD⊥BC交直線BC于D，過點(diǎn)D作DE∥PA，交直線AC于E．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上時(shí)，求證：∠BFG+∠PDE=180°；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段BA的延長線上時(shí)，將圖補(bǔ)充完整，點(diǎn)H在線段AC上，連接GH，若∠FGH+∠PDE=180°，求證：∠GHC=∠DEC；
（3）在（2）的條件下，延長ED至點(diǎn)S，延長BD至點(diǎn)T，若∠PDS：∠SDT=3：2，$\frac{1}{2}$∠GFA+∠BAC=129°，則∠GHC的度數(shù)是66°（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）∠根據(jù)平行線的性質(zhì)得到DE∥PA，于是得到∠FBG=∠EDG即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；∠GHC=∠DEC；
（3）根據(jù)已知條件得到∠PDS=54°，∠SDT=36°，求得∠CDE=36°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到DE∥PA，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BFG=∠BPD=54°，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∠BFG=90°-∠FBG，
∠PDE=90°+∠EDG，
又DE∥PA，
∴∠FBG=∠EDG
∴∠BFG+∠PDE=180°；
（2）如圖，∵∠FGH=90°-∠HGD，
∠PDE=90°+∠EDG，
又∠FGH+∠PDE=180°，
∴∠HGD=∠EDG，
HG∥DE，
∴∠GHC=∠DEC；
（3）∵∠PDS：∠SDT=3：2，PD⊥BC，
∴∠PDS=54°，∠SDT=36°，
∴∠CDE=36°，
∴∠PDE=126°，
∵DE∥PA，
∴∠BPD=∠PDS=54°，∠DEC=∠BAC，
∵FG⊥BC，PD⊥BC，
∴FG∥PD，
∴∠BFG=∠BPD=54°，
∴$\frac{1}{2}$∠GFA=63°，
∵$\frac{1}{2}$∠GFA+∠BAC=129°，
∴∠BAC=66°，∠DEC=66°，
由（2）知∠GHC=∠DEC，
∴∠GHC=66°，
故答案為：66°．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的判定和性質(zhì)，互為余角、補(bǔ)角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠利用這些知識進(jìn)行角的計(jì)算．