Question

11．如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O、AC⊥AB、∠ABC=30°，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，則$\frac{AF}{AO}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．

Answer 1

分析 由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得出AB=2AE，BE=$\sqrt{3}$AE，AC=2CE，AE=$\sqrt{3}$CE，設(shè)CE=a，則$\sqrt{3}$a，AB=2$\sqrt{3}a$，BE=3a，由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AD=BC=4a，AO=$\frac{1}{2}$AC=a，證明ADF∽△EBF，得出$\frac{AF}{EF}=\frac{AD}{BE}$=$\frac{4}{3}$，求出AF=$\frac{4}{7}$AE=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$a，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵AE⊥BC，∠ABC=30°，
∴∠AEB=∠AEC=90°，AB=2AE，∠BAE=90°-30°=60°，
∴BE=$\sqrt{3}$AE，
∵AC⊥AB，
∴∠CAE=30°，
∴AC=2CE，AE=$\sqrt{3}$CE，
設(shè)CE=a，則$\sqrt{3}$a，AB=2$\sqrt{3}a$，BE=3a，
∴BC=4a，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC=4a，AO=$\frac{1}{2}$AC=a，
∴△ADF∽△EBF，∴$\frac{AF}{EF}=\frac{AD}{BE}$=$\frac{4}{3}$，
∴AF=$\frac{4}{7}$AE=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$a，
∴$\frac{AF}{AO}$=$\frac{\frac{4\sqrt{3}}{7}a}{a}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
故答案為：$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．