Question

2．如圖，?ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且交AC于點(diǎn)P，連接AD．
（1）求證：∠DAC=∠DBA；
（2）若點(diǎn)D、C是半圓的三等分點(diǎn)，求證四邊形OBCD是菱形；
（3）求證：點(diǎn)P是線段AF的中點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠CBD=∠DBA，由圓周角定理可得∠DAC=∠CBD，繼而可得出結(jié)論；
（2）連接OD、OC、CD，根據(jù)點(diǎn)D、C是半圓的三等分點(diǎn)，可得$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{BC}$，CD∥AB，可得四邊形OBCD為平行四邊形，然后由OD=OB即可證得四邊形OBCD是菱形；
（3）根據(jù)等角的余角相等，得出∠ADE=∠ABD，結(jié)合（1）可得PA=PD，再由等角的余角相等得出∠PDF=∠PFD，繼而得出PD=PF，然后可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC與∠CBD都是弧CD所對(duì)的圓周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA；

（2）連接OD、OC、CD，
∵點(diǎn)D、C是半圓的三等分點(diǎn)，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{BC}$，CD∥AB，
∴∠AOD=∠COD=∠BOC=60°，
∴△DOC為等邊三角形，
∴CD=OD=OC=OB，
∵CD∥OB，
∴四邊形OBCD為平行四邊形，
∵OD=OB，
∴平行四邊形OBCD為菱形；

（3）∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
又∵DE⊥AB于點(diǎn)E，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，
∴PD=PA，
又∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°且∠ADE=∠DAP，
∴∠PDF=∠PFD，
∴PD=PF，
∴PA=PF，即P是線段AF的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合應(yīng)用，涉及了圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，同弧所對(duì)的圓周角相等，注意數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用．