Question

10．方程3x²-x-1=0的兩根是x₁，x₂，求下列式子的值：
（1）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$；  
（2）x₁²+x₂²．

Answer 1

分析 由于方程3x²-x-1=0的兩個實數(shù)根為x₁，x₂，所以直接利用根與系數(shù)的關系即可得到兩根之和和兩根之積，然后代入化簡后的代數(shù)式即可得到結果．

解答 解：∵方程3x²-x-1=0的兩根是x₁，x₂，
∴x₁₊x₂=$\frac{1}{3}$，x_1•x₂=-$\frac{1}{3}$，
（1）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}}$=-1；
（2）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（$\frac{1}{3}$）²-2×（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{7}{9}$．

點評 本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，完全平方公式，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．