Question

8．已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處
（Ⅰ）如圖1，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接AP、OP、OA．若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊CD的長(zhǎng)．
（Ⅱ）如圖2，在（Ⅰ）的條件下，擦去折痕AO、線段OP，連接BP．動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，且BN=PM，連接MN交PB于點(diǎn)F，作ME⊥BP于點(diǎn)E．試問(wèn)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)的過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，說(shuō)明變化規(guī)律．若不變，求出線段EF的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）先證出∠C=∠D=90°，再根據(jù)∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，得出∠2=∠3，即可證出△OCP∽△PDA；
根據(jù)△OCP與△PDA的面積比為1：4，得出CP=$\frac{1}{2}$AD=4，設(shè)OP=x，則CO=8-x，由勾股定理得 x²=（8-x）²+4²，求出x，最后根據(jù)AB=2OP即可求出邊AB的長(zhǎng)；
（2）作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根據(jù)ME⊥PQ，得出EQ=$\frac{1}{2}$PQ，根據(jù)∠QMF=∠BNF，證出△MFQ≌△NFB，得出QF=$\frac{1}{2}$QB，
再求出EF=$\frac{1}{2}$PB，由（1）中的結(jié)論求出PB=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}=4\sqrt{5}$，最后代入EF=$\frac{1}{2}$PB即可得出線段EF的長(zhǎng)度不變

解答 解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵由折疊可得∠APO=∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
又∵∠D=∠C，
∴△OCP∽△PDA；
∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，
∴$\frac{OP}{PA}=\frac{CP}{DA}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$，
∴CP=$\frac{1}{2}$AD=4，
設(shè)OP=x，則CO=8-x，
在Rt△PCO中，∠C=90°，
由勾股定理得 x²=（8-x）²+4²，
解得：x=5，
∴AB=AP=2OP=10，
∴邊CD的長(zhǎng)為10；
（2）作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，如圖2，
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP=∠MQP．
∴MP=MQ，
∵BN=PM，
∴BN=QM．
∵M(jìn)P=MQ，ME⊥PQ，
∴EQ=$\frac{1}{2}$PQ．
∵M(jìn)Q∥AN，
∴∠QMF=∠BNF，
在△MFQ和△NFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QFM=∠NFB}\\{∠QMF=∠BNF}\\{MQ=BN}\end{array}\right.$，
∴△MFQ≌△NFB（AAS）．
∴QF=$\frac{1}{2}$QB，
∴EF=EQ+QF=$\frac{1}{2}$PQ+$\frac{1}{2}$QB=$\frac{1}{2}$PB，
由（1）中的結(jié)論可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，
∴PB=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}=4\sqrt{5}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$PB=2$\sqrt{5}$，
∴在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度不變，它的長(zhǎng)度為2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似形綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是做出輔助線，找出全等和相似的三角形．