Question

17．已知：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，BE⊥AC，垂足為E，M為AC的中點，聯(lián)結(jié)DE、DM，設(shè)∠C=α．
（1）當△ABC是銳角三角形時，試用α表示∠EDM；
（2）當△ABC是鈍角三角形時，請畫出相應(yīng)的圖形，并用α表示∠EDM（可直接寫出）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BD=CD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=DE，CM=DM，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠CDE和∠CDM，然后根據(jù)∠EDM=∠CDM-∠CDE整理即可得解；
（2）作出圖形，然后同（1）表示出∠CDE和∠CDM，再根據(jù)∠EDM=∠CDE-∠CDM整理即可得解．

解答 解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∵BE⊥AC，
∴CD=DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠CDE=180°-2∠C=180°-2α，
∵AD⊥BC，M為AC的中點，
∴CM=DM=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠CDM=∠C=α，
∴∠EDM=∠CDM-∠CDE=α-（180°-2α）=3α-180°；

（2）如圖，∠CDE=180°-2∠C=180°-2α，
∠CDM=∠C=α，
∠EDM=∠CDE-∠CDM=180°-2α-α=180°-3α．

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并觀察圖形得到∠EDM的表示是解題的關(guān)鍵．